Уровень корреляции. Коэффициент корреляции в Excel

Различные признаки могут быть связаны между собой.

Выделяют 2 вида связи между ними:

• функциональная;
• корреляционная.

Корреляция в переводе на русский язык – не что иное, как связь.
В случае корреляционной связи прослеживается соответствие нескольких значений одного признака нескольким значениям другого признака. В качестве примеров можно рассмотреть установленные корреляционные связи между:

• длиной лап, шеи, клюва у таких птиц как цапли, журавли, аисты;
• показателями температуры тела и частоты сердечных сокращений.

Для большинства медико-биологических процессов статистически доказано присутствие этого типа связи.

Статистические методы позволяют установить факт существования взаимозависимости признаков. Использование для этого специальных расчетов приводит к установлению коэффициентов корреляции (меры связанности).

Такие расчеты получили название корреляционного анализа. Он проводится для подтверждения зависимости друг от друга 2-х переменных (случайных величин), которая выражается коэффициентом корреляции.

Использование корреляционного метода позволяет решить несколько задач:

• выявить наличие взаимосвязи между анализируемыми параметрами;
• знание о наличии корреляционной связи позволяет решать проблемы прогнозирования. Так, существует реальная возможность предсказывать поведение параметра на основе анализа поведения другого коррелирующего параметра;
• проведение классификации на основе подбора независимых друг от друга признаков.

Для переменных величин:

• относящихся к порядковой шкале, рассчитывается коэффициент Спирмена;
• относящихся к интервальной шкале – коэффициент Пирсона.

Это наиболее часто используемые параметры, кроме них есть и другие.

Значение коэффициента может выражаться как положительным, так и отрицательными.

В первом случае при увеличении значения одной переменной наблюдается увеличение второй. При отрицательном коэффициенте – закономерность обратная.

Для чего нужен коэффициент корреляции?

Случайные величины, связанные между собой, могут иметь совершенно разную природу этой связи. Не обязательно она будет функциональной, случай, когда прослеживается прямая зависимость между величинами. Чаще всего на обе величины действует целая совокупность разнообразных факторов, в случаях, когда они являются общими для обеих величин, наблюдается формирование связанных закономерностей.

Это значит, что доказанный статистически факт наличия связи между величинами не является подтверждением того, что установлена причина наблюдаемых изменений. Как правило, исследователь делает вывод о наличии двух взаимосвязанных следствий.

Свойства коэффициента корреляции

Этой статистической характеристике присущи следующие свойства:

• значение коэффициента располагается в диапазоне от -1 до +1. Чем ближе к крайним значениям, тем сильнее положительная либо отрицательная связь между линейными параметрами. В случае нулевого значения речь идет об отсутствии корреляции между признаками;
• положительное значение коэффициента свидетельствует о том, что в случае увеличения значения одного признака наблюдается увеличение второго (положительная корреляция);
• отрицательное значение – в случае увеличения значения одного признака наблюдается уменьшение второго (отрицательная корреляция);
• приближение значения показателя к крайним точкам (либо -1, либо +1) свидетельствует о наличии очень сильной линейной связи;
• показатели признака могут изменяться при неизменном значении коэффициента;
• корреляционный коэффициент является безразмерной величиной;
• наличие корреляционной связи не является обязательным подтверждением причинно-следственной связи.

Значения коэффициента корреляции

Охарактеризовать силу корреляционной связи можно прибегнув к шкале Челдока, в которой определенному числовому значению соответствует качественная характеристика.

В случае положительной корреляции при значении:

• 0-0,3 – корреляционная связь очень слабая;
• 0,3-0,5 – слабая;
• 0,5-0,7 – средней силы;
• 0,7-0,9 – высокая;
• 0,9-1 – очень высокая сила корреляции.

Шкала может использоваться и для отрицательной корреляции. В этом случае качественные характеристики заменяются на противоположные.

Можно воспользоваться упрощенной шкалой Челдока, в которой выделяется всего 3 градации силы корреляционной связи:

• очень сильная – показатели ±0,7 — ±1;
• средняя – показатели ±0,3 — ±0,699;
• очень слабая – показатели 0 — ±0,299.

Данный статистический показатель позволяет не только проверить предположение о существовании линейной взаимосвязи между признаками, но и установить ее силу.

Виды коэффициента корреляции

Коэффициенты корреляции можно классифицировать по знаку и значению:

• положительный;
• нулевой;
• отрицательный.

В зависимости от анализируемых значений рассчитывается коэффициент:

• Пирсона;
• Спирмена;
• Кендала;
• знаков Фехнера;
• конкорддации или множественной ранговой корреляции.

Корреляционный коэффициент Пирсона используется для установления прямых связей между абсолютными значениями переменных. При этом распределения обоих рядов переменных должны приближаться к нормальному. Сравниваемые переменные должны отличаться одинаковым числом варьирующих признаков. Шкала, представляющая переменные, должна быть интервальной либо шкалой отношений.

• точного установления корреляционной силы;
• сравнения количественных признаков.

Недостатков использования линейного корреляционного коэффициента Пирсона немного:

• метод неустойчив в случае выбросов числовых значений;
• с помощью этого метода возможно определение корреляционной силы только для линейной взаимосвязи, при других видах взаимных связей переменных следует использовать методы регрессионного анализа.

Ранговая корреляция определяется методом Спирмена, позволяющим статистически изучить связь между явлениями. Благодаря этому коэффициенту вычисляется фактически существующая степень параллелизма двух количественно выраженных рядов признаков, а также оценивается теснота, выявленной связи.

• не требующих точного определения значение корреляционной силы;
• сравниваемые показатели имеют как количественные, так и атрибутивные значения;
• равнения рядов признаков с открытыми вариантами значений.

Метод Спирмена относится к методам непараметрического анализа, поэтому нет необходимости проверять нормальность распределения признака. К тому же он позволяет сравнивать показатели, выраженные в разных шкалах. Например, сравнение значений количества эритроцитов в определенном объеме крови (непрерывная шкала) и экспертной оценки, выражаемой в баллах (порядковая шкала).

На эффективность метода отрицательно влияет большая разница между значениями, сравниваемых величин. Не эффективен метод и в случаях когда измеряемая величина характеризуется неравномерным распределением значений.

Пошаговый расчет коэффициента корреляции в Excel

Расчёт корреляционного коэффициента предполагает последовательное выполнение ряда математических операций.

Приведенная выше формула расчета коэффициента Пирсона, показывает насколько трудоемок этот процесс если выполнять его вручную.
Использование возможностей Excell ускоряет процесс нахождения коэффициента в разы.

Достаточно соблюсти несложный алгоритм действий:

• введение базовой информации – столбец значений х и столбец значений у;
• в инструментах выбирается и открывается вкладка «Формулы»;
• в открывшейся вкладке выбирается «Вставка функции fx»;
• в открывшемся диалоговом окне выбирается статистическая функция «Коррел», позволяющая выполнить расчет корреляционного коэффициента между 2 массивами данных;
• открывшееся окно вносятся данные: массив 1 – диапазон значений столбца х (данные необходимо выделить), массив 2 – диапазон значений столбца у;
• нажимается клавиша «ок», в строке «значение» появляется результат расчета коэффициента;
• вывод относительно наличия корреляционной связи между 2 массивами данных и ее силе.

В научных исследованиях часто возникает необходимость в нахождении связи между результативными и факторными переменными (урожайностью какой-либо культуры и количеством осадков, ростом и весом человека в однородных группах по полу и возрасту, частотой пульса и температурой тела и т.д.).

Вторые представляют собой признаки, способствующие изменению таковых, связанных с ними (первыми).

Понятие о корреляционном анализе

Существует множество Исходя из вышеизложенного, можно сказать, что корреляционный анализ — это метод, применяющийся с целью проверки гипотезы о статистической значимости двух и более переменных, если исследователь их может измерять, но не изменять.

Есть и другие определения рассматриваемого понятия. Корреляционный анализ — это метод обработки заключающийся в изучении коэффициентов корреляции между переменными. При этом сравниваются коэффициенты корреляции между одной парой или множеством пар признаков, для установления между ними статистических взаимосвязей. Корреляционный анализ — это метод по изучению статистической зависимости между случайными величинами с необязательным наличием строгого функционального характера, при которой динамика одной случайной величины приводит к динамике математического ожидания другой.

Понятие о ложности корреляции

При проведении корреляционного анализа необходимо учитывать, что его можно провести по отношению к любой совокупности признаков, зачастую абсурдных по отношению друг к другу. Порой они не имеют никакой причинной связи друг с другом.

В этом случае говорят о ложной корреляции.

Задачи корреляционного анализа

Исходя из приведенных выше определений, можно сформулировать следующие задачи описываемого метода: получить информацию об одной из искомых переменных с помощью другой; определить тесноту связи между исследуемыми переменными.

Корреляционный анализ предполагает определение зависимости между изучаемыми признаками, в связи с чем задачи корреляционного анализа можно дополнить следующими:

• выявление факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак;
• выявление неизученных ранее причин связей;
• построение корреляционной модели с ее параметрическим анализом;
• исследование значимости параметров связи и их интервальная оценка.

Связь корреляционного анализа с регрессионным

Метод корреляционного анализа часто не ограничивается нахождением тесноты связи между исследуемыми величинами. Иногда он дополняется составлением уравнений регрессии, которые получают с помощью одноименного анализа, и представляющих собой описание корреляционной зависимости между результирующим и факторным (факторными) признаком (признаками). Этот метод в совокупности с рассматриваемым анализом составляет метод

Условия использования метода

Результативные факторы зависят от одного до нескольких факторов. Метод корреляционного анализа может применяться в том случае, если имеется большое количество наблюдений о величине результативных и факторных показателей (факторов), при этом исследуемые факторы должны быть количественными и отражаться в конкретных источниках. Первое может определяться нормальным законом — в этом случае результатом корреляционного анализа выступают коэффициенты корреляции Пирсона, либо, в случае, если признаки не подчиняются этому закону, используется коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Правила отбора факторов корреляционного анализа

При применении данного метода необходимо определиться с факторами, оказывающими влияние на результативные показатели. Их отбирают с учетом того, что между показателями должны присутствовать причинно-следственные связи. В случае создания многофакторной корреляционной модели отбирают те из них, которые оказывают существенное влияние на результирующий показатель, при этом взаимозависимые факторы с коэффициентом парной корреляции более 0,85 в корреляционную модель предпочтительно не включать, как и такие, у которых связь с результативным параметром носит непрямолинейный или функциональный характер.

Отображение результатов

Результаты корреляционного анализа могут быть представлены в текстовом и графическом видах. В первом случае они представляются как коэффициент корреляции, во втором — в виде диаграммы разброса.

При отсутствии корреляции между параметрами точки на диаграмме расположены хаотично, средняя степень связи характеризуется большей степенью упорядоченности и характеризуется более-менее равномерной удаленностью нанесенных отметок от медианы. Сильная связь стремится к прямой и при r=1 точечный график представляет собой ровную линию. Обратная корреляция отличается направленностью графика из левого верхнего в нижний правый, прямая — из нижнего левого в верхний правый угол.

Трехмерное представление диаграммы разброса (рассеивания)

Помимо традиционного 2D-представления диаграммы разброса в настоящее время используется 3D-отображение графического представления корреляционного анализа.

Также используется матрица диаграммы рассеивания, которая отображает все парные графики на одном рисунке в матричном формате. Для n переменных матрица содержит n строк и n столбцов. Диаграмма, расположенная на пересечении i-ой строки и j-ого столбца, представляет собой график переменных Xi по сравнению с Xj. Таким образом, каждая строка и столбец являются одним измерением, отдельная ячейка отображает диаграмму рассеивания двух измерений.

Оценка тесноты связи

Теснота корреляционной связи определяется по коэффициенту корреляции (r): сильная — r = ±0,7 до ±1, средняя — r = ±0,3 до ±0,699, слабая — r = 0 до ±0,299. Данная классификация не является строгой. На рисунке показана несколько иная схема.

Пример применения метода корреляционного анализа

В Великобритании было предпринято любопытное исследование. Оно посвящено связи курения с раком легких, и проводилось путем корреляционного анализа. Это наблюдение представлено ниже.

Исходные данные для корреляционного анализа

Профессиональная группа		смертность
Фермеры, лесники и рыбаки
Шахтеры и работники карьеров
Производители газа, кокса и химических веществ
Изготовители стекла и керамики
Работники печей, кузнечных, литейных и прокатных станов
Работники электротехники и электроники
Инженерные и смежные профессии
Деревообрабатывающие производства
Кожевенники
Текстильные рабочие
Изготовители рабочей одежды
Работники пищевой, питьевой и табачной промышленности
Производители бумаги и печати
Производители других продуктов
Строители
Художники и декораторы
Водители стационарных двигателей, кранов и т. д.
Рабочие, не включенные в другие места
Работники транспорта и связи
Складские рабочие, кладовщики, упаковщики и работники разливочных машин
Канцелярские работники
Продавцы
Работники службы спорта и отдыха
Администраторы и менеджеры
Профессионалы, технические работники и художники

Начинаем корреляционный анализ. Решение лучше начинать для наглядности с графического метода, для чего построим диаграмму рассеивания (разброса).

Она демонстрирует прямую связь. Однако на основании только графического метода сделать однозначный вывод сложно. Поэтому продолжим выполнять корреляционный анализ. Пример расчета коэффициента корреляции представлен ниже.

С помощью программных средств (на примере MS Excel будет описано далее) определяем коэффициент корреляции, который составляет 0,716, что означает сильную связь между исследуемыми параметрами. Определим статистическую достоверность полученного значения по соответствующей таблице, для чего нам нужно вычесть из 25 пар значений 2, в результате чего получим 23 и по этой строке в таблице найдем r критическое для p=0,01 (поскольку это медицинские данные, здесь используется более строгая зависимость, в остальных случаях достаточно p=0,05), которое составляет 0,51 для данного корреляционного анализа. Пример продемонстрировал, что r расчетное больше r критического, значение коэффициента корреляции считается статистически достоверным.

Использование ПО при проведении корреляционного анализа

Описываемый вид статистической обработки данных может осуществляться с помощью программного обеспечения, в частности, MS Excel. Корреляционный предполагает вычисление следующих парамет-ров с использованием функций:

1. Коэффициент корреляции определяется с помощью функции КОРРЕЛ (массив1; массив2). Массив1,2 — ячейка интервала значений результативных и факторных переменных.

Линейный коэффициент корреляции также называется коэффициентом корреляции Пирсона, в связи с чем, начиная с Excel 2007, можно использовать функцию с теми же массивами.

Графическое отображение корреляционного анализа в Excel производится с помощью панели «Диаграммы» с выбором «Точечная диаграмма».

После указания исходных данных получаем график.

2. Оценка значимости коэффициента парной корреляции с использованием t-критерия Стьюдента. Рассчитанное значение t-критерия сравнивается с табличной (критической) величиной данного показателя из соответствующей таблицы значений рассматриваемого параметра с учетом заданного уровня значимости и числа степеней свободы. Эта оценка осуществляется с использованием функции СТЬЮДРАСПОБР (вероятность; степени_свободы).

3. Матрица коэффициентов парной корреляции. Анализ осуществляется с помощью средства «Анализ данных», в котором выбирается «Корреляция». Статистическую оценку коэффициентов парной корреляции осуществляют при сравнении его абсолютной величины с табличным (критическим) значением. При превышении расчетного коэффициента парной корреляции над таковым критическим можно говорить, с учетом заданной степени вероятности, что нулевая гипотеза о значимости линейной связи не отвергается.

В заключение

Использование в научных исследованиях метода корреляционного анализа позволяет определить связь между различными факторами и результативными показателями. При этом необходимо учитывать, что высокий коэффициент корреляции можно получить и из абсурдной пары или множества данных, в связи с чем данный вид анализа нужно осуществлять на достаточно большом массиве данных.

После получения расчетного значения r его желательно сравнить с r критическим для подтверждения статистической достоверности определенной величины. Корреляционный анализ может осуществляться вручную с использованием формул, либо с помощью программных средств, в частности MS Excel. Здесь же можно построить диаграмму разброса (рассеивания) с целью наглядного представления о связи между изучаемыми факторами корреляционного анализа и результативным признаком.

7.3.1. Коэффициенты корреляции и детерминации. Можно количественно определить тесноту связи между факторами и ее направленность (прямую или обратную), вычислив:

1) если нужно определить носящую линейный характер взаимосвязь между двумя факторами, - парный коэффициент корреляции : в 7.3.2 и 7.3.3 рассмотрены операции вычисления парного линейного коэффициента корреляции по Бравэ–Пирсону (r ) и парного рангового коэффициента корреляции по Спирмену (r );

2) если мы хотим определить взаимосвязь между двумя факторами, но зависимость эта явно нелинейная - то корреляционное отношение ;

3) если мы хотим, определить связь между одним фактором и некоторой совокупностью других факторов - то (или, что то же самое, «коэффициент множественной корреляции»);

4) если мы хотим выявить изолированно связь одного фактора только с конкретным другим, входящим в группу факторов, воздействующих на первый, для чего приходится считать влияние всех остальных факторов неизменным - то частный (парциальный) коэффициент корреляции .

Любой коэффициент корреляции (r, r) не может по абсолютной величине превышать 1, то есть –1 < r (r) < 1). Если получено значение 1, то это значит, что рассматриваемая зависимость не статистическая, а функциональная, если 0 - корреляции нет вообще.

Знак при коэффициенте корреляции определяет направ­ленность связи: знак «+» (либо отсутствие знака) означает, что связь прямая (положительная ), знак «–» - что связь обратная (отрицательная ). К тесноте связи знак никакого отношения не имеет

Коэффициент корреляции характеризует статистическую взаимосвязь. Но часто нужно определить другого типа зависимость, а именно: каков вклад некоторого фактора в формирование другого связанного с ним фактора. Такого рода зависимость с некоторой долей условности характеризуется коэффициентом детерминации (D ), определяемым по формуле D = r 2 ´100% (где r - коэффициент корреляции по Бравэ–Пирсону, см. 7.3.2). Если измерения проводились в шкале порядка (шкале рангов) , то с некоторым ущербом для достоверности можно вместо значения r подставить в формулу значение r (коэффициента корреляции по Спирмену, см. 7.3.3).

Например, если мы получили как характеристику зависимости фактора Б от фактора А коэффициент корреляции r = 0,8 или r = –0,8, то D = 0,8 2 ´100% = 64%, то есть около 2½ 3. Следовательно, вклад фактора А и его изменений в формирование фактора Б составляет примерно 2½ 3 от суммарного вклада всех вообще факторов.

7.3.2. Коэффициент корреляции по Бравэ-Пирсону. Процедуру вычисления коэффициента корреляции по Бравэ–Пирсону (r ) можно применять только в тех случаях, когда связь рассматривается на базе выборок, имеющих нормальное распределение частот (нормальное распределение ) и полученных измерениями в шкалах интервалов или отношений. Расчетная формула этого коэффициента корреляции:

å (x i – )(y i – )

r = .

n×s x ×s y

Что показывает коэффициент корреляции? Во-первых, знак при коэффициенте корреляции показывает направленность связи, а именно: знак «–» свидетельствует о том, что связь обратная , или отрицательная (имеет место тенденция: с убыванием значений одного фактора соответствующие значения другого фактора растут, а с возрастанием - убывают), а отсутствие знака или знак «+» свидетельствуют о прямой , или положительной связи (имеет место тенденция: с увеличением значений одного фактора увеличиваются и значения другого, а с уменьшением - уменьшаются). Во-вторых, абсолютная (не зависящая от знака) величина коэффициента корреляции говорит о тесноте (силе) связи. Принято считать (в достаточной мере условно): при значениях r < 0,3 корреляция очень слабая , нередко ее просто не принимают в расчет, при 0,3 £ r < 5 корреляция слабая , при 0,5 £ r < 0,7) - средняя , при 0,7 £ r £ 0,9) - сильная и, наконец, при r > 0,9 - очень сильная. В нашем случае (r » 0,83) связь обратная (отрицательная) и сильная.

Напомним: значения коэффициента корреляции могут находиться в интервале от –1 до +1. Выход значения r за эти пределы свидетельствует о том, что в расчетах допущена ошибка . Если r = 1, то это значит, что связь не статистическая, а функциональная - чего в спорте, биологии, медицине практически не бывает. Хотя при небольшом количестве измерений случай ный подбор значений, дающий картину функциональной связи, возможен, но такой случай тем менее вероятен, чем больше объем сопоставляемых выборок (n), то есть количество пар сравниваемых измерений.

Расчетная таблица (табл. 7,1)строится соответственно формуле.

Таблица 7.1.

Расчетная таблица для вычисления по Бравэ–Пирсону

x i	y i	(x i – )	(x i – ) 2	(y i – )	(y i – ) 2	(x i – )(y i – )
13,2	4,75	0,2	0,04	–0,35	0,1225	– 0,07
13,5	4,7	0,5	0,25	– 0,40	0,1600	– 0,20
12,7	5,10	– 0,3	0,09	0,00	0,0000	0,00
12,5	5,40	– 0,5	0,25	0,30	0,0900	– 0,15
13,0	5,10	0,0	0,00	0,00	0.0000	0,00
13,2	5,00	0,1	0,01	– 0,10	0,0100	– 0,02
13,1	5,00	0,1	0,01	– 0,10	0,0100	– 0,01
13,4	4,65	0,4	0,16	– 0,45	0,2025	– 0,18
12,4	5,60	– 0,6	0,36	0,50	0,2500	– 0,30
12,3	5,50	– 0,7	0,49	0,40	0,1600	– 0,28
12,7	5,20	–0,3	0,09	0,10	0,0100	– 0,03
åx i =137 =13,00	åy i =56,1 =5,1		å(x i – ) 2 = =1,78		å(y i – ) 2 = = 1,015	å(x i – )(y i – )= = –1,24

Поскольку s х = ï ï = ï ï» 0,42, а

s y =ï ï» 0,32, r » –1,24ï (11´0,42´0,32)» –1,24ï 1,48 » –0,83 .

Иными словами, нужно очень твердо знать, что коэффициент корреляции не может по абсолютной величине превосходить 1,0. Это нередко позволяет избежать грубейших ошибок, точнее - найти и исправить допущенные при подсчетах ошибки.

7.3.3. Коэффициент корреляции по Спирмену . Как уже было сказано, применять коэффициент корреляции по Бравэ–Пирсону (r) можно только в тех случаях, когда анализируемые факторы по распределению частот близки к нормальному и значения вариант получены измерениями обязательно в шкале отношений или в шкале интервалов, что бывает, если они выражены физическими единицами. В остальных случаях находят коэффициент корреляции по Спирмену (r ). Впрочем, этот коэффициент можно применять и в случаях, когда разрешено (и желательно! ) применять коэффициент корреляции по Бравэ-Пирсону. Но следует иметь в виду, что процедура определения коэффициента по Бравэ-Пирсону обладает большей мощностью («разрешающей способностью »), поэтому r более информативен, чем r . Даже при большом n отклонение r может быть порядка ±10%.

Таблица 7.2 Расчетная формула коэффици-

x i y i R x R y |d R | d R 2 ента корреляции по Спирмену

13,2 4,75 8,5 3,0 5,5 30,25 r = 1 – . Вос

13,5 4,70 11,0 2,0 9,0 81,00 пользуемся нашим примером

12,7 5,10 4,5 6,5 2,0 4,00 для расчета r , но построим

12,5 5,40 3,0 9,0 6,0 36,00 иную таблицу (табл.7.2).

13,0 5,10 6,0 6,5 0,5 0,25 Подставим значения:

13,2 5,00 8,5 4,5 4,0 16,00 r = 1– =

13,1 5,00 7,0 4,5 2,5 6,25 =1– 2538:1320 » 1–1,9 » – 0,9.

13,4 4,65 10,0 1,0 9,0 81,00 Мы видим: r оказался немного

12,4 5,60 2,0 11,0 9,0 81,00 больше, чем r , но это разли-

12,3 5,50 1,0 10,0 9,0 81,00 чие не очень велико. Ведь при

12,7 5,20 4,5 8,0 3,5 12,25 таком малом n значения r и r

åd R 2 = 423 очень уж приблизительны, мало достоверны, их действительное значение может колебаться в широких пределах, поэтому различие r иr в 0,1 малосущественно. Обычно r рассматривают как аналог r , но только менее точный . Знаки при r и r показывает направленность связи.

7.3.4. Применение и проверка достоверности коэффициентов корреляции. Определение степени корреляционной зависимости между факторами необходимо для управления развитием нужного нам фактора: для этого приходится влиять на другие факторы, существенно влияющие на него, и нужно знать меру их действенности. Знать про взаимосвязь факторов нужно для разработки или выбора готовых тестов: информативность теста определяется корреляцией его результатов с проявле­ниями интересующего нас признака или свойства. Без знания корреляций невозможны любые формы отбора.

Выше было отмечено, что в спортивной и вообще педагогической, медицинской и даже экономической и социологической практике большой интерес представляет определение того вклада , который один фактор вносит в формирование другого . Это связано с тем, что помимо рассматриваемого фактора-причины на целевой (интересующий нас) фактор действуют, давая каждый тот или иной вклад в него, и другие.

Считается, что мерой вклада каждого фактора-причины может служить коэффициент детерминации D i = r 2 ´100%. Так, например, если r = 0,6, т.е. связь между факторами А и Б средняя, то D = 0,6 2 ´100% = 36%. Зная, таким образом, что вклад фактора А в формирование фактора Б приблизительно 1½ 3, можно, например уделять целенаправленному развитию этого фактора приблизительно 1½ 3 тренировочного времени. Если же коэффициент корреляции r = 0,4 , то D = r 2 100% =16%, или примерно 1½ 6 - в два с лишним раза меньше, и уделять его развитию по этой логике следует соответственно лишь 1½ 6 часть тренировочного времени.

Величины D i для разных существенных факторов дают приблизительное представление о количественном взаимоот­ношении их влияний на интересующий нас целевой фактор, ради совершенствования которого мы, собственно, и работаем над другими факторами (например, прыгун в длину с разбега работает над повышением скорости своего спринтерского бега, так как оно является тем фактором, который дает самый значительный вклад в формирование результата в прыжках).

Напомним, что определяя D можно вместо r поставить r , хотя, конечно, точность определения оказывается ниже.

На основе выборочного (рассчитанного по выборочным данным) коэффициента корреляции нельзя делать вывод о достоверности факта наличия связи между рассматриваемыми факторами вообще. Для того, чтобы сделать такой вывод с той или иной степенью обоснованности, используют стандартные критерии значимости корреляции . Их применение предполагает линейную зависимость между факторами и нормальное распределение частот в каждом из них (имея в виду не выборочное, а генеральное их представление).

Можно, например, применить t-критерии Стьюдента. Его рас-

четная формула: t p = –2 , где k - исследуемый выборочный коэффициент корреляции, a n - объем сопоставляемых выборок. Полученное расчетное значение t-критерия (t р)сравнивают с табличным при выбранном нами уровне значимости и числе степеней свободы n = n – 2. Чтобы избавиться от расчетной работы, можно воспользоваться специальной таблицей критических значений выборочных коэффициентов корреляции (см. выше), соответствующих наличию достоверной связи между факторами (с учетом n и a ).

Таблица 7.3.

Граничные значений достоверности выборочного коэффициента корреляции

Число степеней свободы при определении коэффициентов корреляции принимают равным 2 (т.е. n = 2) Указанные в табл. 7.3 значения имеют нижней границей доверительного интервала истинного коэффициента корреляции 0, то есть при таких значениях нельзя утверждать, что корреляция вообще имеет место. При значении выборочного коэффициента корреляции выше указанного в таблице можно при соответствующем уровне значимости считать, что истинный коэффициент корреляции не равен нулю.

Но ответ на вопрос, есть ли реальная связь между рассматриваемыми факторами, оставляет место для другого вопроса: в каком интервале лежит истинное значение коэффициента корреляции, каким он может быть на самом деле, при бесконечно большом n ? Этот интервал для любого конкретного значения r и n сопоставляемых факторов можно рассчитать, но удобнее пользоваться системой графиков (номограммой ), где каждая пара кривых, построенная для не которого указанного над ними n , соответствует границам интервала.

Рис. 7.4. Доверительные границы выборочного коэффициента корреляции (a = 0,05). Каждая кривая соответствует указанному над ней n .

Обратясь к номограмме на рис. 7.4, можно определить интервал значений истинного коэффициента корреляции для вычисленных значений выборочного коэффициента корреляции при a = 0,05.

7.3.5. Корреляционные отношения. Если парная корреляция нелинейна , нельзя вычислять коэффициент корреляции, определяют корреляционные отношения . Обязательное требование: признаки должны быть измерены в шкале отношений или в шкале интервалов. Можно вычислять корреляционную зависимость фактора X от фактора Y и корреляционную зависимость фактора Y от фактора X - они различаются. При небольшом объеме n рассматриваемых выборок, представляющих факторы, для вычисления корреляционных отношений можно пользоваться формулами:

корреляционное отношение h x ½ y = ;

корреляционное отношение h y ½ x = .

Здесь и - средние арифметические выборок X и Y, и - внутриклассовые средние арифметические. Tо есть - среднее арифметическое тех значений в выборке фактора Х, с которыми сопряжены одинаковые значения в выборке фактора Y (например, если в факторе X имеются значения 4, 6, и 5, с которыми в выборке фактора Y сопряжены 3 варианты с одинаковым значением 9, то = (4+6+5)½ 3 = 5). Соответственно - среднее арифметическое тех значений в выборке фактора Y, с которыми сопряжены одинаковые значения в выборке фактора Х. Приведем пример и проведем расчет:

Х: 75 77 78 76 80 79 83 82 ; Y: 42 42 43 43 43 44 44 45 .

Таблица 7.4

Расчетная таблица

х i	y i	x y	х i – х	(х i – х ) 2	х i – х y	(x i – x y ) 2
			–4		–1
			–2
			–3		–2
			–1
					–3
x=79	y=43			S=76		S=28

Следовательно, h y ½ x = » 0,63.

7.3.6. Частные и множественный коэффициенты корреляции. Чтобы оценить зависимость между 2-мя факторами, вычисляя коэффициенты корреляции, мы как бы по умолчанию предполагаем, что никакие другие факторы на эту зависимость никакого воздействия не оказывают. В реальности дело обстоит не так. Так, на зависимость между весом и ростом очень существенно влияют калорийность питания, величина систематической физической нагрузки, наследственность и др. Когда нужно при оценке связи между 2-мя факторами учесть существенное влияние других факторов и в то же время как бы изолироваться от них, считая их неизменными , вычисляют частные (иначе - парциальные ) коэффициенты корреляции.

Пример: нужно оценить парные зависимости между 3-мя существенно действующими факторами X, Y и Z. Обозначим r XY (Z) частный (парциальный) коэффициент корреляции между факторами X и Y (при этом величину фактора Z считаем неизменной), r ZX (Y) - частный коэффициент корреляции между факторами Z и X (при неизменном значении фактора Y), r YZ (X) - частный коэффициент корреляции между факторами Y и Z (при неизменном значении фактора X). Используя вычисленные простые парные (по Бравэ-Пирсону) коэффициенты корреляции r XY , r XZ и r YZ , м

ожно вычислить частные (парциальные) коэффициенты корреляции по формулам:

r XY – r XZ ´r YZ r XZ – r XY ´r ZY r ZY –r ZX ´r YZ

r XY (Z) = ; r XZ (Y) = ; r ZY (Х) =

Ö(1–r 2 XZ)(1–r 2 YZ) Ö(1– r 2 XY)(1–r 2 ZY) Ö(1–r 2 ZX)(1–r 2 YX)

И частные коэффициенты корреляции могут принимать значения от –1 до +1. Возведя их в квадрат, получают соответствующие частные коэффициенты детерминации , называемые также частными мерами определенности (умножив на 100, выразим в %%). Частные коэффициенты корреляции больше или меньше отличаются от простых (полных) парных коэффициентов, что зависит от силы влияния на них 3-го фактора (как бы неизменного). Нулевая гипотеза (Н 0), то есть гипотеза об отсутствии связи (зависимости) между факторами X и Y, проверяется (при общем количество признаков k ) вычислением t-критерия по формуле: t Р = r XY (Z) ´ (n –k) 1 ½ 2 ´ (1–r 2 XY (Z)) –1 ½ 2 .

Если t Р < t a n , гипотеза принимается (считаем, что зависимости нет), если же t Р ³ t a n - гипотеза опровергается, то есть считается, что зависимость действительно имеет место. t a n берется по таблице t -критерия Стьюдента, причем k - количество учитываемых факторов (в нашем примере 3), число степеней свободы n = n – 3. Другие частные коэффициенты корреляции проверяют аналогично (в формулу вместо r XY (Z) подставляют соответственно r XZ (Y) или r ZY (X)).

Таблица 7.5

Исходные данные

Ö (1 – 0,71 2)(1 – 0,71 2) Ö (1 – 0,5)(1 – 0,5)

Для оценки зависимости фактора Х от совместного действия нескольких факторов (здесь факторы Y и Z), вычисляют значения простых парных коэффициентов корреляции и, используя их, вычисляют множественный коэффициент корреляции r X (YZ) :

Ö r 2 XY + r 2 XZ – 2r XY ´ r XZ ´ r YZ

r X (YZ) = .

Ö 1 – r 2 YZ

7.2.7. Коэффициент ассоциации. Нередко требуется количественно оценить зависимость между качественными признаками, т.е. такими признаками, которые нельзя представить (охарактеризовать) количественно, которые неизмеримы . Например, стоит задача выяснить, существует ли зависимость между спортивной специализацией занимающихся и такими личностными свойствами, как интравертность (направленность личности на явления собственного субъективного мира) и экстравертность (направленность личности на мир внешних объектов). Условные обозначения представим в табл. 7.6.

Таблица 7.6.

X (лет)	Y (раз)	Z (раз)		X (лет)	Y (раз)	Z (раз)

Признак 1 Признак 2	Интравертность	Экстравертность
Спортивные игры	а	b
Гимнастика	с	d

Очевидно, что числами, имеющимися в нашем распоряжении, здесь могут быть только частоты распределений. В таком случае вычисляют коэффициент ассоциации (другое название «коэффициент сопряженности »). Рассмотрим простейший случай: связь между двумя парами признаков, при этом вычисленный коэффициент сопряженности называют тетрахорическим (см. табл.).

Таблица 7.7.

а =20	b = 15	a + b = 35
с =15	d = 5	c + d = 20
a + c = 35	b + d = 20	n = 55

Вычисления производим по формуле:

ad – bc 100 – 225 –123

Вычисление коэффициентов ассоциации (коэффициентов сопряжения) при большем количестве признаков связано с расчетами по аналогичной матрице соответствующего порядка.

Где x·y , x , y - средние значения выборок; σ(x), σ(y) - среднеквадратические отклонения.
Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции Пирсона может быть определен через коэффициент регрессии b: , где σ(x)=S(x), σ(y)=S(y) - среднеквадратические отклонения, b - коэффициент перед x в уравнении регрессии y=a+bx .

Другие варианты формул:
или

К xy - корреляционный момент (коэффициент ковариации)

Для нахождения линейного коэффициента корреляции Пирсона необходимо найти выборочные средние x и y , и их среднеквадратические отклонения σ x = S(x), σ y = S(y):

Линейный коэффициент корреляции указывает на наличие связи и принимает значения от –1 до +1 (см. шкалу Чеддока). Например, при анализе тесноты линейной корреляционной связи между двумя переменными получен коэффициент парной линейной корреляции, равный –1 . Это означает, что между переменными существует точная обратная линейная зависимость.

Вычислить значение коэффициента корреляции можно по заданным средним выборки, либо непосредственно .

Xy#x #y #σ x #σ y " data-id="a;b;c;d;e" data-formul="(a-b*c)/(d*e)" data-r="r xy ">Рассчитать свое значение

Геометрический смысл коэффициента корреляции : r xy показывает, насколько различается наклон двух линий регрессии: y(x) и х(у) , насколько сильно различаются результаты минимизации отклонений по x и по y . Чем больше угол между линиями, то тем больше r xy .
Знак коэффициента корреляции совпадает со знаком коэффициента регрессии и определяет наклон линии регрессии, т.е. общую направленность зависимости (возрастание или убывание). Абсолютная величина коэффициента корреляции определяется степенью близости точек к линии регрессии.

Свойства коэффициента корреляции

1. |r xy | ≤ 1;
2. если X и Y независимы, то r xy =0, обратное не всегда верно;
3. если |r xy |=1, то Y=aX+b, |r xy (X,aX+b)|=1, где a и b постоянные, а ≠ 0;
4. |r xy (X,Y)|=|r xy (a 1 X+b 1 , a 2 X+b 2)|, где a 1 , a 2 , b 1 , b 2 – постоянные.

Поэтому для проверки направления связи выбирается проверка гипотезы при помощи коэффициента корреляции Пирсона с дальнейшей проверкой на достоверность при помощи t-критерия (пример см. ниже).

Инструкция . Укажите количество исходных данных. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. Пример нахождения уравнения регрессии). Также автоматически создается шаблон решения в Excel . .

Типовые задания (см. также нелинейная регрессия)

Типовые задания
Исследуется зависимость производительности труда y от уровня механизации работ x (%) по данным 14 промышленных предприятий. Статистические данные приведены в таблице.
Требуется:
1) Найти оценки параметров линейной регрессии у на х. Построить диаграмму рассеяния и нанести прямую регрессии на диаграмму рассеяния.
2) На уровне значимости α=0.05 проверить гипотезу о согласии линейной регрессии с результатами наблюдений.
3) С надежностью γ=0.95 найти доверительные интервалы для параметров линейной регрессии.

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Уравнение множественной регрессии

Пример . На основе данных, приведенных в Приложении 1 и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:

1. Рассчитать коэффициент линейной парной корреляции и построить уравнение линейной парной регрессии одного признака от другого. Один из признаков, соответствующих Вашему варианту, будет играть роль факторного (х), другой – результативного (y). Причинно-следственные связи между признаками установить самим на основе экономического анализа. Пояснить смысл параметров уравнения.
2. Определить теоретический коэффициент детерминации и остаточную (необъясненную уравнением регрессии) дисперсию. Сделать вывод.
3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом на пятипроцентном уровне с помощью F-критерия Фишера. Сделать вывод.
4. Выполнить прогноз ожидаемого значения признака-результата y при прогнозном значении признака-фактора х, составляющим 105% от среднего уровня х. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал с вероятностью 0,95.

Решение . Уравнение имеет вид y = ax + b
Средние значения



Дисперсия


Среднеквадратическое отклонение



Связь между признаком Y фактором X сильная и прямая (определяется по шкале Чеддока).
Уравнение регрессии

Коэффициент регрессии: k = a = 4.01
Коэффициент детерминации
R 2 = 0.99 2 = 0.97, т.е. в 97% случаев изменения х приводят к изменению y . Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остаточная дисперсия: 3%.

x	y	x 2	y 2	x ∙ y	y(x)	(y-y cp) 2	(y-y(x)) 2	(x-x p) 2
1	107	1	11449	107	103.19	333.06	14.5	30.25
2	109	4	11881	218	107.2	264.06	3.23	20.25
3	110	9	12100	330	111.21	232.56	1.47	12.25
4	113	16	12769	452	115.22	150.06	4.95	6.25
5	120	25	14400	600	119.23	27.56	0.59	2.25
6	122	36	14884	732	123.24	10.56	1.55	0.25
7	123	49	15129	861	127.26	5.06	18.11	0.25
8	128	64	16384	1024	131.27	7.56	10.67	2.25
9	136	81	18496	1224	135.28	115.56	0.52	6.25
10	140	100	19600	1400	139.29	217.56	0.51	12.25
11	145	121	21025	1595	143.3	390.06	2.9	20.25
12	150	144	22500	1800	147.31	612.56	7.25	30.25
78	1503	650	190617	10343	1503	2366.25	66.23	143

Примечание: значения y(x) находятся из полученного уравнения регрессии:
y(1) = 4.01*1 + 99.18 = 103.19
y(2) = 4.01*2 + 99.18 = 107.2
... ... ...

Значимость коэффициента корреляции

Выдвигаем гипотезы:
H 0: r xy = 0, нет линейной взаимосвязи между переменными;
H 1: r xy ≠ 0, есть линейная взаимосвязь между переменными;
Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H 1 ≠ 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия (величина случайной ошибки):

По таблице Стьюдента находим t табл (n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228
Поскольку Tнабл > t табл, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим.
Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал)


r - Δ r ≤ r ≤ r + Δ r
Δ r = ±t табл m r = ±2.228 0.0529 = 0.118
0.986 - 0.118 ≤ r ≤ 0.986 + 0.118
Доверительный интервал для коэффициента корреляции: 0.868 ≤ r ≤ 1

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии

Доверительные интервалы для зависимой переменной

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X = 7
(122.4;132.11)
Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии

1) t-статистика




Статистическая значимость коэффициента регрессии подтверждается
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:
(a - t a S a ; a + t a S a)
(3.6205;4.4005)
(b - t b S b ; b + t b S b)
(96.3117;102.0519)

2) F-статистики


Fkp = 4.96. Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим (см.

В главе 4 мы рассмотрели основные одномерные описательные статисти­ки - меры центральной тенденции и изменчивости, которые применяются для описания одной переменной. В этой главе мы рассмотрим основные ко­эффициенты корреляции.

Коэффициент корреляции - двумерная описательная статистика, количе­ственная мера взаимосвязи (совместной изменчивости) двух переменных.

История разработки и применения коэффициентов корреляции для ис­следования взаимосвязей фактически началась одновременно с возникнове­нием измерительного подхода к исследованию индивидуальных различий - в 1870-1880 гг. Пионером в измерении способностей человека, как и автором самого термина «коэффициент корреляции», был Френсис Гальтон, а самые популярные коэффициенты корреляции были разработаны его последовате­лем Карлом Пирсоном. С тех пор изучение взаимосвязей с использованием коэффициентов корреляции является одним из наиболее популярных в пси­хологии занятием.

К настоящему времени разработано великое множество различных коэф­фициентов корреляции, проблеме измерения взаимосвязи с их помощью по­священы сотни книг. Поэтому, не претендуя на полноту изложения, мы рас­смотрим лишь самые важные, действительно незаменимые в исследованиях меры связи - /--Пирсона, r-Спирмена и т-Кендалла". Их общей особенностью является то, что они отражают взаимосвязь двух признаков, измеренных в ко­личественной шкале - ранговой или метрической.

Вообще говоря, любое эмпирическое исследование сосредоточено на изу­чении взаимосвязей двух или более переменных.

ПРИМЕРЫ

Приведем два примера исследования влияния демонстра­ции сцен насилия по ТВ на агрессивность подростков. 1. Изучается взаимосвязь двух переменных, измеренных в количественной (ранговой или метрической) шка­ле: 1)«время просмотра телепередач с насилием»; 2) «агрессивность».

Читается как тау-Кендалла.

ГЛАВА 6. КОЭФФИЦИЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИИ

2. Изучается различие в агрессивности 2-х или более групп подростков, отличаю­щихся длительностью просмотра телепередач с демонстрацией сцен насилия.

Во втором примере изучение различий может быть представлено как исследование взаимосвязи 2-х переменных, одна из которых - номинативная (длительность про­смотра телепередач). И для этой ситуации также разработаны свои коэффициенты корреляции.

Любое исследование можно свести к изучению корреляций, благо изобре­тены самые различные коэффициенты корреляции для практически любой исследовательской ситуации. Но в дальнейшем изложении мы будем разли­чать два класса задач:

П исследование корреляций - когда две переменные представлены в чис­ловой шкале;

□ исследование различий - когда хотя бы одна из двух переменных пред­ставлена в номинативной шкале.

Такое деление соответствует и логике построения популярных компьютер­ных статистических программ, в которых в меню Корреляции предлагаются три коэффициента (/--Пирсона, r-Спирмена и х-Кендалла), а для решения других исследовательских задач предлагаются методы сравнения групп.

ПОНЯТИЕ КОРРЕЛЯЦИИ

Взаимосвязи на языке математики обычно описываются при помощи фун­кций, которые графически изображаются в виде линий. На рис. 6.1 изобра­жено несколько графиков функций. Если изменение одной переменной на одну единицу всегда приводит к изменению другой переменной на одну и ту же величину, функция является линейной (график ее представляет прямую линию); любая другая связь - нелинейная. Если увеличение одной перемен­ной связано с увеличением другой, то связь - положительная (прямая); если увеличение одной переменной связано с уменьшением другой, то связь - отрицательная (обратная). Если направление изменения одной переменной не меняется с возрастанием (убыванием) другой переменной, то такая функ­ция - монотонная; в противном случае функцию называют немонотонной.

Функциональные связи, подобные изображенным на рис. 6.1, являются иде-ализациями. Их особенность заключается в том, что одному значению одной переменной соответствует строго определенное значение другой переменной. Например, такова взаимосвязь двух физических переменных - веса и длины тела (линейная положительная). Однако даже в физических экспериментах эмпирическая взаимосвязь будет отличаться от функциональной связи в силу неучтенных или неизвестных причин: колебаний состава материала, погреш­ностей измерения и пр.

Рис. 6.1. Примеры графиков часто встречающихся функций

В психологии, как и во многих других науках, при изучении взаимосвязи признаков из поля зрения исследователя неизбежно выпадает множество воз­можных причин изменчивости этих признаков. Результатом является то, что даже существующая в реальности функциональная связь между переменными выступает эмпирически как вероятностная (стохастическая): одному и тому же значению одной переменной соответствует распределение различных значе­ний другой переменной (и наоборот). Простейшим примером является соотно­шение роста и веса людей. Эмпирические результаты исследования этих двух признаков покажут, конечно, положительную их взаимосвязь. Но несложно догадаться, что она будет отличаться от строгой, линейной, положительной - идеальной математической функции, даже при всех ухищрениях исследова­теля по учету стройности или полноты испытуемых. (Вряд ли на этом основа­нии кому-то придет в голову отрицать факт наличия строгой функциональ­ной связи между длиной и весом тела.)

Итак, в психологии, как и во многих других науках, функциональная вза­имосвязь явлений эмпирически может быть выявлена только как вероятно­стная связь соответствующих признаков. Наглядное представление о характере вероятностной связи дает диаграмма рассеивания - график, оси которого со­ответствуют значениям двух переменных, а каждый испытуемый представля­ет собой точку (рис. 6.2). В качестве числовой характеристики вероятностной связи используются коэффициенты корреляции.